<< 4. Стандартные модели галактик | Оглавление | 4.2 Формула Серсика >>

Разделы


4.1 Закон Вокулера


4.1.1 Общие сведения

Знаменитый закон был опубликован Жераром де Вокулером в 1948 году в работе под названием ``Recherches sur les Nébuleuses Extragalactiques: I. Sur la technique de l'Analyse Microphotométrique des Nébuleuses Brillantes'' [58] и записывается так: $ {\rm lg}I(r)/I_e=-3.25~[(r/r_e)^{1/4}-1]$. В приведенной формуле $I_e$ и $r_e$ -- это эффективная поверхностная яркость и эффективный радиус (п. 3.2), а коэффициент 3.25 был эмпирически подобран так, чтобы в пределах $r_e$ излучалась половина полной светимости галактики. Позднее значение коэффициента было увеличено до точного значения 3.33 (см. далее).

В общем виде закон Вокулера можно записать как

\begin{displaymath} {\rm lg}\frac{I(\alpha)}{I_e}=-\beta(\alpha^{1/4}-1), \end{displaymath} (8)

где $\alpha=r/r_e$ и $\beta$ -- коэффициент ($\beta>0$). Предположим далее, что изофоты галактики могут быть представленны соосными гомоцентричными эллипсами с постоянной эллиптичностью $\epsilon=1-b/a$. Тогда полная асимптотическая светимость галактики, описываемой законом Вокулера, будет равна
\begin{displaymath} L_T=2 \pi I_e r_e^2 (1-\epsilon) \int_0^{+\infty}{\rm exp}[-... ...alpha = 8! \pi \frac{e^{\nu}}{\nu^8} (1-\epsilon) I_e r_e^2, \end{displaymath} (9)

где $\nu=\beta\,{\rm ln\,10}$.

Кривая относительной светимости (п. 3.2) такой галактики согласно [90] может быть представлена в виде:

\begin{displaymath} k(\alpha)=L(\leq \alpha)/L_{T}=1-{\rm exp}(-\nu\alpha^{1/4})\Sigma_{n=0}^{n=7}\frac{\nu^n\alpha^{n/4}}{n!}. \end{displaymath} (10)

В пределах $r=r_e$ ($\alpha=1$) должна излучаться половина полной светимости галактики, то есть $k(1)=1/2$. Отсюда из уравнения (10) можно найти, что $\nu=7.66925$ и $\beta=\nu/{\rm ln}\,10=3.33071$.

Следовательно, в окончательном виде закон Вокулера можно записать как

\begin{displaymath} {\rm lg}\frac{I(r)}{I_e}=-3.33071\left[\left(\frac{r}{r_e}\right)^{1/4}-1\right] \end{displaymath} (11)

или, в звездных величинах на квадратную секунду дуги,
\begin{displaymath} \mu(r)=\mu_e+8.32678[(r/r_e)^{1/4}-1] \end{displaymath} (12)

Соответствующая этому закону полная светимость
\begin{displaymath} L_T=7.21457 \pi I_e r_e^2 (1-\epsilon)=22.66523 I_e r_e^2 b/a. \end{displaymath} (13)

Абсолютная звездная величина галактики
\begin{displaymath} M_{Vauc}=\mu_e-5\,{\rm lg}r_e-2.5\,{\rm lg}(1-\epsilon)-39.961, \end{displaymath} (14)

где эффективный радиус $r_e$ выражен в килопарсеках.

Средняя поверхностная яркость в пределах эфективного радиуса составляет ${\langle I \rangle}_e=3.61I_e$ или ${\langle \mu \rangle}_e=\mu_e-1.39$. Полная светимость, выраженная через ${\langle I \rangle}_e$, равна $L_T = 2 \pi {\langle I \rangle}_e r_e^2\,b/a$ (ср. с (13)). Центральная поверхностная яркость галактики в модели Вокулера $I_0^b = 10^{3.33}I_e = 2140I_e$. Индексы концентрации (п. 3.2) для объекта, описываемого законом Вокулера, составляют $C_{21}=2.75$ и $C_{32}=2.54$.

На рис. 11 показан фотометрический разрез NGC 3379 и его аппроксимация формулой (12). Как видно на этом рисунке, закон Вокулера является хорошим описанием наблюдаемого распределения галактики в очень широком диапазоне поверхностной яркости $\mu(B)$ (от 17 до 29) и $r_e$ (от $\sim1''$ до $\sim10'$)3. В долях эффективных параметров эти интервалы составляют $0.002I_e \leq I \leq 125I_e$ и $0.02r_e \leq r \leq 11r_e$. В [91] было показано, что закон $r^{1/4}$ описывает распределение яркости в NGC 3379 с ошибкой, не превышающей $\pm$0.$^m$08, в интервале поверхностных яркостей $\Delta\mu\sim10$.

рис.  11: Непрерывной линией показано распределение поверхностной яркости вдоль большой оси эллиптической галактики NGC 3379 согласно [38]. Штриховая прямая -- аппроксимация наблюдаемого распределения яркости законом Вокулера с параметрами $\mu_e(B)=22.24$ и $r_e=56.''8$ [38]. Слева рисунок приведен в координатах $\mu$-$r$, справа -- $\mu$-$r^{1/4}$.
\begin{figure}\centerline{\psfig{file=n3379vauc.ps,angle=-90,width=16.5cm}}\end{figure}

Изобразив разрез в координатах $\mu$-$r^{1/4}$, можно быстро установить соответствие распределения яркости галактики закону Вокулера (см. рис. 11). Как следует из формулы (12), в таких координатах закон Вокулера -- это прямая линия $\mu(r)=u+vr^{1/4}$, где $u=\mu^b_0=\mu_e-8.3268$ (центральная поверхностная яркость) и $v=8.3268/r_e^{1/4}$.

В таблице 4 приведена нормированная кривая относительной светимости, построенная по уравнению (10) [90]. На рис. 12 показаны результаты апертурной фотометрии NGC 3379 согласно [91]. Как видно на рисунке, наблюдательные данные хорошо согласуются с модельной ``кривой роста''. Измерению в максимальную диафрагму ($A/A_e=3.50$) соответствует значение ``асимптотической поправки'' $\Delta\,m=0.21$.




Таблица 4: Нормированная кривая относительной светимости для закона Вокулера по [90]
$r/r_e$ $k(r/r_e)$ $m(r/r_e)-m_T$
0.01 0.00355 6.124
0.05 0.03193 3.739
0.10 0.07197 2.857
0.20 0.14716 2.081
0.30 0.21273 1.680
0.50 0.31981 1.238
1.00 0.50000 0.753
2.00 0.69001 0.403
3.00 0.78807 0.259
4.00 0.84658 0.181
5.00 0.88455 0.133
10.0 0.96149 0.043
30.0 0.99701 0.003
80.0 0.99990 0.0001

рис.  12: Апертурная фотометрия эллиптической галактики NGC 3379 в цветовой полосе $B$ согласно [91] (кружки). Непрерывной линией показана кривая относительной светимости для закона Вокулера (уравнение (10), таблица 4) при $B_T=10.20$.
\begin{figure}\centerline{\psfig{file=n3379mag.ps,angle=-90,width=9.0cm}}\end{figure}

Распределение поверхностной яркости у нормальных эллиптических галактик, как правило, хорошо описывается законом (11). Систематические отклонения от этого закона наблюдаются обычно только в центральных и периферийных областях галактик. В промежуточной области (например, при $0.1r_e \leq r \leq 1.5r_e$) закон Вокулера является очень хорошим приближением для галактик ранних морфологических типов [92].


4.1.2 Распределение плотности и кривая вращения

Если галактика сферически-симметрична и ''прозрачна'', то связь трехмерного распределения плотности светимости $j(R)$ и спроецированного распределения яркости $I(r)$ дается следующей формулой (например, [26]):

\begin{displaymath} I(r)=2\int_{r}^{\infty}\frac{j(R)R{\rm d}R}{\sqrt{R^2-r^2}}. \end{displaymath} (15)

Решение этого интегрального уравнения хорошо известно:
\begin{displaymath} j(R)=-\frac{1}{\pi}\int_{R}^{\infty}\frac{{\rm d}I}{{\rm d}r}\frac{{\rm d}r}{\sqrt{r^2-R^2}}. \end{displaymath} (16)

Если галактика имеет постоянное отношение масса-светимость, то уравнение (16) дает искомое трехмерное распределение плотности $\rho(R)$.

Пространственное распределение плотности, которое в проекции приводит к закону Вокулера, определялось в ряде работ (например, [90,93]). В [90] было найдено, что

\begin{displaymath} \rho(R\rightarrow0)=0.24099\,R^{-3/4}{\rm exp}(-\nu R^{1/4}), \end{displaymath} (17)


\begin{displaymath} \rho(R\rightarrow\infty)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{8 \nu R... ...xp}(-\nu R^{1/4})\left[1-\frac{7}{8\nu R^{1/4}}+\ldots\right]. \end{displaymath} (18)

Если оставить в разложении (18) только первый член, то полная масса галактики в пределах расстояния $R$ от ядра будет равна

\begin{displaymath} {\rm M}(\leq R)=\frac{\sqrt{8\pi^3}}{\nu^9}\,\gamma(8.5,R^{1/4}), \end{displaymath} (19)

где $\gamma(\eta,x)$ -- неполная гамма-функция. Точность формулы (19) составляет $\sim10\%$ при $R\rightarrow\infty$.

В [93] было предложено более простое аналитическое приближение для распределения плотности:

\begin{displaymath} \rho(R)=\rho_0\,R^{-0.855}{\rm exp}(-R^{1/4}). \end{displaymath} (20)

Из этого выражения следует, что
\begin{displaymath} {\rm M}(\leq R)={\rm M_0}\gamma(8.58,R^{1/4}), \end{displaymath} (21)

где ${\rm M_0}=16 \pi \rho_0 (r_e/\nu^4)^3$ и
\begin{displaymath} {\rm M_{tot}}=1.65 \cdot 10^4\,{\rm M_0}. \end{displaymath} (22)

В работе [93] приведены соответствующие таблицы для расчетов по формулам (20-21), а также сравнение с результатами [90].

В статье [94] предложен простой способ построения кривой вращения для описываемой законом Вокулера галактики. Скорость вращения сплюснутой галактики в экваториальной плоскости может быть представлена как

\begin{displaymath} {\rm V}^2(r)=0.0172\,f\,I_e\,r_e\,q\,C(\alpha,q_0), \end{displaymath} (23)

где V($r$) выражена в км/с, $f$ -- отношение масса-светимость в солнечных единицах, $I_e$ и $r_e$ -- эффективные поверхностная яркость (в $L_{\odot}$/пк$^2$) и радиус (в пк), $q=b/a$ -- видимое сжатие галактики. Безразмерная функция $C(\alpha,q_0)$, где $\alpha=r/r_e$ и $q_0$ - истинное сжатие, определяет форму кривой вращения. Функция $C(\alpha,q_0)$ (безразмерная кривая вращения) для $q_0=0.4,\,0.6,\,0.8$ показана на рис. 13 (соответствующие таблицы приведены в [94]). Максимум кривой вращения достигается при $r/r_e \approx 0.27$. При этом максимальная скорость вращения составляет V $_{max} \approx \sqrt{0.06 f I_e r_e q}$ (км/с). При изменении истинного сжатия галактики от 0.4 до 0.8 максимальная скорость вращения уменьшается примерно на 15%.

рис.  13: Функция $C(\alpha,q_0)$ при $q_0=0.4$ (непрерывная кривая), $q_0=0.6$ (штриховая кривая) и $q_0=0.8$ (кривая из точек).
\begin{figure}\centerline{\psfig{file=rcv.ps,angle=-90,width=9.0cm}}\end{figure}


<< 4. Стандартные модели галактик | Оглавление | 4.2 Формула Серсика >>