- Новости
-
Олимпиада
- Рекомендуемая литература
- Положение об олимпиаде
- Методическая программа
- Регламент олимпиады
- Критерии оценивания
- Места проведения олимпиады
- История олимпиады
- Текущая олимпиада
- 2022-2023 учебный год
- 2021-2022 учебный год
- 2020-2021 учебный год
- 2019-2020 учебный год
- 2018-2019 учебный год
- 2017-2018 учебный год
- 2016-2017 учебный год
- 2015-2016 учебный год
- 2014-2015 учебный год
- 2013-2014 учебный год
- 2012-2013 учебный год
- 2011-2012 учебный год
- 2010-2011 учебный год
- 2009-2010 учебный год
- 2008-2009 учебный год
- 2007-2008 учебный год
- Прочее
- Кружок
- Летние школы
- Абитуриенту
- Форум
- Ссылки
Задачи и решения (11 класс)
1. Каков бы был период обращения Юпитера относительно Солнца, если бы масса Солнца была в 10 раз больше, чем на самом деле? Считать, что радиус орбиты Юпитера не меняется и равен
а.е.
Решение: Для решения этой задачи следует воспользоваться так называемым "обобщенным" III законом Кеплера:
где
- период обращения планеты,
- радиус (а точнее, большая полуось) ее орбиты,
- масса Солнца,
- гравитационная постоянная.
Отсюда получаем
откуда следует, что при неизменном радиусе орбиты
обратно пропорционален
. Таким образом искомый период был бы в
раз меньше, чем на самом деле.
Настоящий период обращения Юпитера можно определить из "простого" III закона Кеплера, сравнив орбиту Юпитера с орбитой Земли:
где
год - период обращения Земли, а
а.е. - радиус ее орбиты. Отсюда
лет. Получаем, что искомый период был бы равен
года.
2. Могут ли какие-либо галилеевы спутники Юпитера при наблюдении с Юпитера находиться в "полнолунии"? Радиусы орбит спутников (в радиусах Юпитера) составляют: Ио -
, Европа -
, Ганимед -
, Каллисто -
.
Решение: Вспомним, что наклон орбит галилеевых спутников Юпитера к плоскости эклиптики практически нулевой. Тогда вопрос состоит в том, попадут ли спутники при приближении к фазе "полнолуния" в тень Юпитера или нет. Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто. Угловой диаметр Юпитера при наблюдении с Каллисто можно легко оценить, он составит
радиана, т.е. примерно
. Так как угловой размер диска Солнца при наблюдении с орбиты Юпитера намного меньше - около
(можно вспомнить, что угловой размер диска Солнца при наблюдении с Земли примерно равен
, а Юпитер находится в 5 раз дальше от Солнца, чем Земля), то это означает, что даже Каллисто (а, следовательно, и все остальные галилеевы спутники тоже) окажутся глубоко в тени Юпитера.
3. Почему в веществе самых старых звезд Галактики очень мало тяжелых элементов, а в веществе самых молодых, наоборот, их содержание относительно велико?
Решение: Самые старые звезды образовались из бедного тяжелыми элементами протогалактического газового облака. Массивные звезды, быстро эволюционируя, взрывались и обогащали межзвездную среду образовавшимися в них тяжелыми элементами. Следующие поколения звезд образовывались из вещества с большим содержанием тяжелых элементов.
4. Может ли искусственный спутник иметь такую орбиту, чтобы его трасса проходила бы только над следующими частями света:
a) над Европой?
b) над Африкой?
c) и над Европой, и над Африкой?
Решение: Проще всего ответить на вопрос b) - так как через Африку проходит экватор, то геостационарный спутник будет искомым.
Подходящими для двух остальных вопросов спутниками могут быть только суточные спутники (с периодом обращения, равным суткам), в противном случае орбита спутника будет перемещаться по долготе из-за вращения Земли, и такой спутник рано или поздно пролетит, например, над Америкой. Орбита суточного спутника с некоторым наклоном, меньшим
, будет представлять собой "восьмерку" с центром на экваторе, крайние точки которой будут иметь широту, равную наклону орбиты. Можно подобрать наклон таким образом, чтобы спутник пролетал над Европой (при этом наклон должен быть больше
- это широта самой южной точки Европы) и не пролетал над Антарктидой (наклон должен быть меньше
- широты самой северной точки Антарктиды). Реально нижняя граница наклона больше - при малом наклоне одна из петель "восьмерки" может зацепить Азию.
Однако при этом не удастся сделать так, чтобы спутник не пролетал над Африкой, поэтому ответ на вопрос c) - может, это должен быть суточный спутник с наклоном около
; ответ на вопрос a) - не может.
Примечание: естественно, в решении не требовалось указывать предельные значения наклонов орбит спутников.
5. Десять солнцеподобных звезд свалили в кучу и сделали одну белую звезду главной последовательности. Как изменилась светимость такой звезды, если ее средняя плотность в три раза меньше солнечной?
Решение: Светимость звезды (
) определяется температурой и площадью поверхности звезды. Звезда белая, т.е. ее температура около
К. Она в
раза больше температуры Солнца (
К), и за счет изменения температуры светимость увеличилась в
раз.
Так как масса звезды стала в 10 раз больше, а плотность в 3 раза меньше, то объем звезды увеличился в 30 раз. Поскольку объем пропорционален кубу радиуса, то радиус новой звезды в
раз больше старого радиуса, а площадь поверхности, следовательно, в
раз больше прежней. Таким образом, суммарная светимость новой звезды возросла в
раз.
![$ 5.2 $](/files/tex/202a672f3d9e01551e8b12f6b4dcc9ba910ef06c.png)
![$\displaystyle
\frac{a^3}{P^2} = \frac{G \Msol}{4 \pi^2},
$](/files/tex/f48cf0d276e23cbb4166ed989545f50528891606.png)
![$ P $](/files/tex/bf2bfdd78ab4563918d2040f7f9969883c7bdaa4.png)
![$ a $](/files/tex/64dc986621314fe1e222013b91168d1504277691.png)
![$ \Msol $](/files/tex/d4bfd2e5724e3628352caabf7fbd39e985a70996.png)
![$ G $](/files/tex/5f8263c43e1dd76007a81bbe9cf5d496f98e8ede.png)
![$\displaystyle
P = \sqrt{\frac{4 \pi^2 a^3}{G \Msol}}
$](/files/tex/30cd68d4ebd3a92f1df0486d51716423e6cca546.png)
![$ P $](/files/tex/bf2bfdd78ab4563918d2040f7f9969883c7bdaa4.png)
![$ \sqrt{\Msol} $](/files/tex/83dfacea1094fc8053c56b671216ab2b2ad6ab06.png)
![$ \sqrt{10} $](/files/tex/c7a281d6d4ecbe653793fd948df3aad04bbac926.png)
![$\displaystyle
\frac{P^2}{P_\oplus^2} = \frac{a^3}{a_\oplus^3},
$](/files/tex/64557670137ec3f22603b6114d3baac5f81cf353.png)
![$ P_\oplus = 1 $](/files/tex/21981d2ddeac20f8474a02a6e221dd86072fa059.png)
![$ a_\oplus = 1 $](/files/tex/199bf7bf444ef4021b050063cdc18bf99eeac8ae.png)
![$ P = \sqrt{a^3} = \sqrt{5.2^3} \approx 12 $](/files/tex/22bbb5d4ab31b8f6f6d90c92bfc8ddbb58e9833f.png)
![$ \frac{12}{\sqrt{10}} \approx 4 $](/files/tex/cf90f28e31a3edaa9ae9588f10e072bf0b905f38.png)
![$ 5.9 $](/files/tex/fc74bb2878f790790335c3540f794af153f7c3c7.png)
![$ 9.4 $](/files/tex/2e3f96222c4bc4c6407839ec044a90788b578522.png)
![$ 15 $](/files/tex/d4b5d0905563705a9cbaef43d0681ea30835706a.png)
![$ 26 $](/files/tex/83e3d30d8a4febfc8fcdeece6b3dea09e9e48395.png)
![$ 2/26 $](/files/tex/8d1419a99cf4c33f1b0f0752c02aac6cd7b6e91a.png)
![$ 4^\circ $](/files/tex/758ea80ff5a9d617ef5d9171d6c2975180d2ad58.png)
![$ 6' $](/files/tex/47e77be878b9b0d86daa251e6aefe103e58f62b2.png)
![$ 30' $](/files/tex/ee7050d8299c8b893c90a2674681478cfce7549f.png)
![$ 90^\circ $](/files/tex/c3220a1e345edcbecace4a3e004771284e3e62c3.png)
![$ 38^\circ $](/files/tex/1f97b477e254df128377021192a63614d19c79ba.png)
![$ 63^\circ $](/files/tex/acad2ace6a4f69d2c243ac3afc0268097a83289d.png)
![$ 60^\circ $](/files/tex/2074fd33852f2c3320219b5f9777b1194c363e6d.png)
![$ L=4\pi R^2 \sigma T^4 $](/files/tex/c63b4af5c2b969f6e8fb525d9633d751609d23ed.png)
![$ 10^4 $](/files/tex/9b34571268a13b61c5cde5d937e42777a3520133.png)
![$ 1.7 $](/files/tex/5c3181129f5d7b8f9ffdd503fa8deb3d6a3e99f1.png)
![$ 6 \cdot 10^3 $](/files/tex/29b6044c31c021310ec087298292678c64b8f83c.png)
![$ (1.7)^4 \approx 8 $](/files/tex/0cb4e3e761aad5afce50838c6ee704e5edf501b9.png)
![$ \sqrt[3]{30} $](/files/tex/d7cf8e7f828d23402232e8d7302579122fd91589.png)
![$ (30)^{2/3} \approx 10 $](/files/tex/3107ba146b4b9ed7cb41fc255f1eaa935ba7eec1.png)
![$ \approx 80 $](/files/tex/23f07057a9a3a3746ec3263e67ceabb4f3cd2a66.png)
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы получить возможность отправлять комментарии
2 задача
"Очевидно, что шансы не попасть в тень выше всего у наиболее далекого спутника - Каллисто."
Дайте пожалуйста пояснения этого факта...
Тень планеты
Тень планеты представляет собой конус, основание которого - сечение планеты, центр которого совпадает с центром планеты, и перпендикулярное плоскости орбиты планеты. Чем дальше спутник от планеты, тем в более узкую область тени планеты он попадает. Если спутник очень далеко, то у него есть шанс совсем не попасть в тень. Так что проверку в данной задаче целесоообразно начинать с самого далекого спутника. Совет: посмотрите в решениях 5-6 классов рисунок с лунным затмением, обратите внимание на форму тени и представьте спутник на разных расстояниях от планеты.